０で割るとはどういうこと？

今回は山崎直和さんのブログ『な！？高校数字なんちな』からご寄稿いただきました。

０で割るとはどういうこと？

前回*1に引き続き、計算の不思議シリーズ（？）第２弾です。

*1：「マイナスとマイナスをかけるとなぜプラス？」 『な！？高校数字なんちな』
http://naop.jp/topics/topics27.html

０という数については、以前少しこの連載でも触れましたが、この数の発見は数学史に大きな影響を与えた出来事であると同時に、様々な厄介ごとが生まれる結果ともなりました。

０の性質はいろいろありますが、その中の１つに、

「なにと掛け算をしても答えは０」

というものがあります。

０は何倍したって０だし、どんな数を０倍しても０である。という、小学生でも知っている性質です。

しかし、この分かりやすくて簡単な性質のお陰で、私たちは大いに苦しむことになってしまうのです。

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問題です。

「０÷３」

の答えはいくらでしょう？

もちろん、０に決まっています。お菓子が全く何もないのだから、それを３人で分けても、何もない状態のまま、なんていう説明が出来ますね。

では、「３÷０」はいくらでしょうか？

「そんなもの、０に決まってるじゃないか！」

と、簡単に片付けようとしたそこのあなた！

事はそう簡単な話ではないのです。

実はこの答え、０ではないのです。

考えてみてください。３つのお菓子があって、それを「０人で分ける」というのはいったいどういうことなのか。

あるいは、３つのお菓子を、「０個ずつに分ける」というのはどういうことなのか。

０を含んだ割り算の中には、０が持つ底知れぬ恐ろしさが隠れ潜んでいるのです。

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「３÷０」の答え、０でなければいったいいくらなんだ？　と気になられるでしょうが、このような説明をしてみましょう。

例えば６÷３の答えは、次の式の（　）の中の数と同じです。

３×（　）＝６

（　）の中に入る数は２ですから、６÷３の答えは２です。

２７÷３の答えは、

３×（　）＝２７

の（　）の中に入る数と同じです。つまり、答えは９です。

Ａ÷Ｂという割り算の答えが知りたければ、Ｂ×（　）＝Ａという式を作り、（　）の中に何が入るか考えればよいことになりますね。

０÷３の答えは、３×（　）＝０という式を考えれば、０だとすぐ分かります。

では、問題の「３÷０」の場合はどうなるでしょうか。

この答えは、「０×（　）＝３」という式を考えれば分かるはずなのですが・・・

・・・そうです。気付いていただけたでしょうか？

そんな数などない！ということに。

０に何をかけたって、答えは０になるはずです。３になることは絶対にありません。

つまり、「０×（　）＝３」に当てはまる数など、この世にはありません。

ということで、３÷０の答えは、「ない」というのが正解になります。

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０の入った割り算では、

(1) 割られる数が０なら、答えは０
(2) 割る数が０なら、答えはない

という、奇妙な現象が起こることになるわけですが、では、この場合はどうなるのでしょう？

「０÷０」

「もう付き合ってられるか！」

なんて読者の方が離れていく姿が目に浮かびますが、もう少しお付き合いください。(笑)　今度はちゃんと答えがありますから。

さて、これも先ほどのように、式を使って考えてみることにしましょう。

０÷０の答えは、次の式の（　）に入る数と同じになります。

０×（　）＝０

さあ、答えは何でしょうか？

「・・・何でもいいのでは？？？」

と思ったあなた。大正解。答えは「どんな数でもよい」となります。

つまり、

０÷０＝６
０÷０＝１００
０÷０＝－７

などなど、全て正解ということになるわけです。

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以上、

Ａ÷０（ただし、Ａは０以外）・・・答えなし
０÷０・・・何でも良い

ということを説明してきましたが、どうもすっきりしないなァ、と思ってらっしゃる方も多いのではないでしょうか？

理屈の上では分かるんだけれども、感覚的にピンとこないというか。

そこで、小学生でも分かるような(多分・・・)説明をご用意しました。

【３÷０に答えがない理由】

３個のケーキを０個ずつに分けるということは、３個のケーキを目にも見えないくらい小さなサイズにみじん切りにするということだ。だから、いくつに分割できたかなんて、多すぎて数えられない。

【０÷０の答えが何でもよい理由】

目に見えないくらい小さな、ホコリのようなケーキのかけらがある。０を０で割るということは、このかけらを更に目に見えないくらいのサイズに分けるということだ。どうせ既に目に見えない位小さいのだから、この後これを２つに分けようが、３つに分けようが、１００個に分けようが、見えないことに変わりはない。

どうでしょうか？　ちょっとこじつけに近い説明ですかね？

高校で理系分野に進む人は、「数学３」という教科を学習するはずです。その中で、「極限」という分野を学べば、今回の話は納得がいくと思います。実は上に挙げた２つの(こじつけのような)説明も、極限という分野で高校生が大真面目に学習する内容を、噛み砕いて表現したものです。

高校生とか、理系とか、極限とか、何だか話のレベルが飛躍して驚いた方もいるかも知れませんが、０で何かを割る、ということは、それくらい深くて厄介な話なのです。

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もう満腹、という方もいらっしゃるでしょうが、０は厄介だよ、という話をもう一つ。

「２」を２回掛け算すると、２×２で「４」になりますね。

「２」を３回掛け算すると、２×２×２で「８」。

「２」を６回掛け算すると、ちょっと計算が大変ですが、答えは「６４」

「２」を１回掛け算すると、式がただの　２　となって、答えは「２」

では、「２」を０回掛け算するといくらになるでしょう？

お怒りの声が聞こえる前に、退散することに致します。

執筆：この記事は山崎直和さんのブログ『な！？高校数字なんちな』からご寄稿いただきました。