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0で割るとはどういうこと?

0で割るとはどういうこと?

今回は山崎直和さんのブログ『な!?高校数字なんちな』からご寄稿いただきました。

0で割るとはどういうこと?

前回*1に引き続き、計算の不思議シリーズ(?)第2弾です。

*1:「マイナスとマイナスをかけるとなぜプラス?」 『な!?高校数字なんちな』
http://naop.jp/topics/topics27.html

0という数については、以前少しこの連載でも触れましたが、この数の発見は数学史に大きな影響を与えた出来事であると同時に、様々な厄介ごとが生まれる結果ともなりました。

0の性質はいろいろありますが、その中の1つに、

「なにと掛け算をしても答えは0」

というものがあります。

0は何倍したって0だし、どんな数を0倍しても0である。という、小学生でも知っている性質です。

しかし、この分かりやすくて簡単な性質のお陰で、私たちは大いに苦しむことになってしまうのです。

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問題です。

「0÷3」

の答えはいくらでしょう?

もちろん、0に決まっています。お菓子が全く何もないのだから、それを3人で分けても、何もない状態のまま、なんていう説明が出来ますね。

では、「3÷0」はいくらでしょうか?

「そんなもの、0に決まってるじゃないか!」

と、簡単に片付けようとしたそこのあなた!

事はそう簡単な話ではないのです。

実はこの答え、0ではないのです。

考えてみてください。3つのお菓子があって、それを「0人で分ける」というのはいったいどういうことなのか。

あるいは、3つのお菓子を、「0個ずつに分ける」というのはどういうことなのか。

0を含んだ割り算の中には、0が持つ底知れぬ恐ろしさが隠れ潜んでいるのです。

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「3÷0」の答え、0でなければいったいいくらなんだ? と気になられるでしょうが、このような説明をしてみましょう。

例えば6÷3の答えは、次の式の( )の中の数と同じです。

3×( )=6

( )の中に入る数は2ですから、6÷3の答えは2です。

27÷3の答えは、

3×( )=27

の( )の中に入る数と同じです。つまり、答えは9です。

A÷Bという割り算の答えが知りたければ、B×( )=Aという式を作り、( )の中に何が入るか考えればよいことになりますね。

0÷3の答えは、3×( )=0という式を考えれば、0だとすぐ分かります。

では、問題の「3÷0」の場合はどうなるでしょうか。

この答えは、「0×( )=3」という式を考えれば分かるはずなのですが・・・

・・・そうです。気付いていただけたでしょうか?

そんな数などない!ということに。

0に何をかけたって、答えは0になるはずです。3になることは絶対にありません。

つまり、「0×( )=3」に当てはまる数など、この世にはありません。

ということで、3÷0の答えは、「ない」というのが正解になります。

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0の入った割り算では、

(1) 割られる数が0なら、答えは0
(2) 割る数が0なら、答えはない

という、奇妙な現象が起こることになるわけですが、では、この場合はどうなるのでしょう?

「0÷0」

「もう付き合ってられるか!」

なんて読者の方が離れていく姿が目に浮かびますが、もう少しお付き合いください。(笑) 今度はちゃんと答えがありますから。

さて、これも先ほどのように、式を使って考えてみることにしましょう。

0÷0の答えは、次の式の( )に入る数と同じになります。

0×( )=0

さあ、答えは何でしょうか?

「・・・何でもいいのでは???」

と思ったあなた。大正解。答えは「どんな数でもよい」となります。

つまり、

0÷0=6
0÷0=100
0÷0=-7

などなど、全て正解ということになるわけです。

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