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数学の問題をプログラミングで解こう!「スクエア・カルテット」問題解説

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問題のおさらい

2つの自然数の組 (a, b) が与えられたとき、自然数 x, y に関する次の方程式を考えます。

    x2 + a2 = y2 + b2 … (※)

例えば、(a, b) = (3, 10) のとき、方程式(※)の解は (x, y) = (10, 3), (46, 45) の 2 組です。

自然数の組 (a, b) に対し、方程式(※)の全ての解の x + y の和を F(a, b) と定義します。

例えば F(3, 10) = 10 + 3 + 46 + 45 = 104 です。

同様に、F(10, 50) = 3500、F(20, 100) = 15022 となることが確かめられます。

標準入力から、半角空白区切りで 2 つの自然数 a, b(1 ≦ a < b ≦ 105)が与えられます。
標準出力に F(a, b) の値を出力するプログラムを書いてください。

方針

与えられた a, b に対し、等式を成立させる整数解を求める問題です。

単純な解法としては、y = √(x2 + a2 – b2) と変形するやり方が考えられます。x の値を一つ選び、x2 + a2 – b2 の値が平方数になるかどうかをチェックするというやり方です。

ただこの方法はあまり高速ではありません。x の値の取り得る範囲が広すぎるためです。y ≦ x – 1 でなくてはなりませんから、上の y の式に代入すると、√(x2 + a2 – b2) ≦ x – 1 となります。両辺を 2 乗して整理すると、x ≦ (b2 – a2 + 1) / 2 という条件が得られます。a < b ≦ 105 という条件では、調べるべき範囲が膨大になり、多くの計算量を要してしまいます。

そこで、本問のポイントは、次の式変形を行うことです。

    (x + y) (x - y) = b2 - a2

変数 x, y を左辺に集めて因数分解しました。このように、整数に関する問題では、与式を因数分解した形で表すと道筋が見えてくることが多いです。さて、この式をじっと見てみると、x + y と x – y の積が b2 – a2 に等しいと分かります。つまり、b2 – a2 の約数が分かれば、それがx + y または x – y の候補になるということです。

b2 – a2(以下、K とします)の約数を求めるコードを書きましょう。割る数 d を 1 から始めて 1 ずつ増やしながら、K を割り切るかどうか確かめればOKです。なお、d を K までループさせる必要はありません。d が K の約数なら K / d も K の約数であるという事実を利用しましょう。d を √K までループさせれば十分です。また x と y がちゃんと整数になるかどうかも忘れずチェックしましょう。コードは次のようになります(C++)。

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

long long Sqrt(long long n) {
long long s, t;
if (n > 1;
} while (s < t);
return t;
}

// nの約数の一覧を返す関数
vector<long long> Divisors(long long n) {
long long s = Sqrt(n);
vector<long long> v;
for (long long i = 1; i > a >> b;
long long answer = 0;
long long z = b * b – a * a;
vector<long long> v = Divisors(z);
for (int i = 0; i < v.size(); i++) {
long long p = v[i], q = z / v[i];
if ((p + q) % 2 != 0 || p = t: break
return t

def divisors(n):
s = sqrt(n)
v = set()
for i in range(1, s+1):
if n % i != 0: continue
v.add(i)
v.add(n / i)
return v

a, b = map(int, raw_input().split())
v = divisors(b + a)
u = divisors(b – a)
w = set()
answer = 0
for p in v:
for q in u:
w.add(p * q)
for p in w:
q = (b * b – a * a) / p
if (p + q) % 2 != 0 or p

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